Олімпіадні задачі для 9 класу

Олімпіадні задачі з геометрії

1. У трапеції ABCD з бічною стороною CD = 30 см діагоналі перетинаються у точці E, а кути AED і BCD рівні. Коло радіусом 17 см, яке проходить через точки C, D і E, перетинає основи AD у точці F і дотикається до прямої BF. Знайти висоту трапеції та її основи.
2. П’ятикутник ABCDE вписаний в коло. Знайти довжину кола, якщо BC = CE, площа трикутника  ADE рівна площі трикутника CDE, площа трикутника ABC рівна площі трикутника BCD, а 3AC + 2BD = 5√5.
3. У трикутнику ABC бісектриси кутів при вершинах A і C перетинаються у точці D. Знайти радіус описаного навколо трикутника ABC кола, якщо радіус кола з центром у точці O, описаного навколо трикутника ADC, дорівнює  R = 6 см, і  ACO = 30˚.
4. З точки C проведено дві дотичні до кола. Точки A і B — точки дотику. На колі узято довільну точку M, відмінну від  A  та  B. З точки M опущені перпендикуляри MN, ME, MD на сторони AB, BC, CA відповідно. Знайти площу трикутника MNE, якщо відомі сторони MN = 4, MD = 2 та кут  ACB = 120˚.
5. Коло проходить через вершини A та B трикутника ABC та дотикається до прямої AC у точці A. Знайти радіус кола, якщо  кут BAC = α, кут  ABC = β , а площа трикутника ABC рівна S.
6. Через вершини B та C трикутника ABC проведено коло, яке перетинає сторону AB у точці K і сторону AC у точці L. Знайти  AB, якщо  AK = KB, AL = l,  BCK = α,  CBL = β.
7. Бісектриси внутрішніх кутів трикутника продовжені до точок перетину  з описаним навколо трикутника кола, відмінних від вершин початкового трикутника. В результаті попарного з’єднання цих точок отримали новий трикутник. Відомо, що кути початкового трикутника дорівнюють 30˚, 60˚ та 90˚, а його площа дорівнює 2. Знайти площу нового трикутника.
8. У внутрішній частині прямокутного трикутника розміщено два кола однакового радіуса, кожний з яких дотикається одного з катетів, гіпотенузи та другого кола. Знайти радіуси цих кіл, якщо катети трикутника дорівнюють a і b.
9. На координатній площині (x;y) проведено коло радіусом 4 з центром у початку координат. Пряма, задана рівнянням  y = 4 - (2 - √3)x, перетинає його в точках A і B. Знайти суму довжин відрізка AB та меншої дуги AB.
10. Кола з радіусами 3 та 6 з центрами відповідно у точках O₁ та O₂ дотикаються зовнішнім чином у точці A. До кіл проведені спільна зовнішня дотична та спільна внутрішня дотична. Ці дотичні перетинаються у точці B, а L — спільна точка зовнішньої дотичної та кола з радіусом 6. Знайти радіус кола, вписаного в чотирикутник ABLO₂.
11. На колі з  радіусом 5, описаного навколо правильного трикутника, узято точку D. Відомо, що відстань від точки D до однієї з вершин трикутника дорівнює 9. Знайти суму відстаней від точки D до двох інших вершин трикутника.
12. У равнобедреній трапеції середня линія дорівнює m, а діагоналі взаємно перпендикулярні. Знайти площу цієї трапеції.
13. Площа трапеції ABCD з основами AD та BC (AD > BC) дорівнює 48, а площа трикутника AOB, де O — точка перетину діагоналей трапеції, дорівнює 9. Знайти відношення основ трапеції AD : BC.

Джерело: http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/215da29c-b834-11db-a998-c6a2869daf17/problem_102483.html